南京市2021届高三年级第三次模拟考试（5月）数学试卷及参考答案

1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．

2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．

第I卷（选择题  共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合A={x|2x<4},B={x|x2-2x-3≤0},则A∪B= 

A.[-1,2)              B.(2,3]             C.(-1,3]          D.(- ∞,3]

2.已知i为虚数单位，若复数z=,则复数的虚部为

A.-                       B.                     C.- i                  D. i

3.函数y=ln|x|+cosx的大致图象是

4.将5名学生分配到A,B,C,D,E这5个社区参加义务劳动，每个社区分配1名学生，且学生甲不能分配到A社区，则不同的分配方法种数是

A.72             B.96            C.108          D.120

5.已知cos(α-)=,则sin(2α+)+cos(-）的值为

A.               B.            C.                        D.1

6.声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强．通常人耳能听到声音的最小声强为I0=10-12(瓦／米2).对于一个声音的声强I,用声强I与I0比值的常用对数的10倍表示声强I的声

强级，单位是“分贝”，即声强I的声强级是10lg (分贝）．声音传播时，在某处听到的声强I与该处到声源的距离s的平方成反比，即I=（k为常数）．若在距离声源15米的地方，听到声音的声强级是20分贝，则能听到该声音（即声强不小于I0)的位置到声源的最大距离为

A.100米                   B.150米                 C.200米              D.15~10米

7.在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上的动点．若（λ,μ>0),则的最小值为

A.2                 B.5          C.          D. 

8.已知a,b,c均为不等于1的正实数，且lna=clnb,lnc=blna,则a,b,c的大小关系是

A.c>a>b                     B.b>c>a                   C.a>b>c              D.a>c>b

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.面对新冠肺炎疫情冲击，我国各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展均取得显著成效,下表显示的是2020年4月份到12月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比增长率是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率，则下列说法正确的是

A.2020年4月份到12月份，社会消费品零售总额逐月上升

B.2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大

C.2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大

D.第4季度的月消费品零售总额相比第2季度的月消费品零售总额，方差更小

10.定义曲线：=1为椭圆C: =1(a>b>0)的伴随曲线，则

A.曲线有对称轴                                B.曲线没有对称中心

C.曲线有且仅有4条渐近线            D.曲线与椭圆C有公共点

11.已知正四棱台的上底面边长为,下底面边长为2,侧棱长为2,则

A.棱台的侧面积为6

B.棱台的体积为14

C.棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为

D.棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为

12.已知函数f(x)=3sin2x+4cos2x,g(x)=f(x)+|f(x)|.若存在x0∈R,使得对任意x∈R,f(x)≥f(xo),则

A.任意x∈R,f(x+xo)=f(x-xo)                       

B.任意x∈R,f(x)≤f(xo+)

C.存在θ>0,使得g(x)在（xo,xo+θ)上有且仅有2个零点

D.存在θ>-,使得g(x)在（xo-,x0+θ)上单调递减

第II卷（非选择题 共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 的展开式中的常数项为                   .

14.写出一个离心率为,渐近线方程为y=±2x的双曲线方程为                   .

15.早在15世纪，达·芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1,先制作三张一样的黄金矩形ABCD(），然后从长边CD的中点E出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即OE=AD,再沿着与长边AB平行的方向剪出相同的长度，即OF=OE,将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2.若黄金矩形的短边长为4,则按如上制作的正二十面体的表面积为             ，其外接球的表面积为              .

16.已知直线y=kx+b与曲线y=x2+cosx相切，则＋b的最大值为            .

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(本题满分10分）

已知四边形ABCD中，AC与BD交于点E,AB=2BC=2CD=4.

（1)若∠ADC=,AC=3,求cos∠CAD;

（2)若AE=CE,BE=2,求ΔABC的面积．

18.(本题满分12分）

已知等差数列{an}满足：a1+3,a3,a4成等差数列，且a1,a3,a8成等比数列．

（1)求数列{an}的通项公式；

（2)在任意相邻两项ak与ak+1(k=1,2,···)之间插入2k个2,使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}.记Sn为数列{bn}的前n项和，求满足Sn<500的n的最大值．

19.(本题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD//BC, ∠ABC=90°,AD=2BC

＝2AB=4,ΔPAD为等边三角形，E为PD的中点，直线AB与CE所成角的大小为45°.

（1)求证：平面PAD⊥平面ABCD;

（2)求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值．

20.(本小题满分12分）

某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图。

（1)同一组数据用该区间的中点值作代表，

①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数.

②若该同学的接球训练成绩X近似地服从正态分布N(μ,100),其中μ近似为样本平均数,求P(54<X<64)的值；

（2)为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y.以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求E(Y).

参考数据：若随机变量～N(μ,o2),

则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.6827,

P(μ-2σ<5<μ+2σ)~0.9545,

P(μ-3σ<E<μ+3σ)≈0.9973.

21.(本题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x,经过P(t,0)(1>0)的直线l与C交于A,B两点。

（1)若t=4,求AP长度的最小值；

（2)设以AB为直径的圆交x轴于M,N两点，问是否存在t,使得= -4?若存在，求

出t的值；若不存在，请说明理由。

22.(本题满分12分）

已知函数f(x)= ＋alnx,a∈R.

（1)若a<e,求函数f(x)的单调区间；

（2)若a>e,求证：函数f(x)有且仅有1个零点．